Інструкція
Перш за все, варто зрозуміти, що бічна поверхня піраміди представлена декількома трикутниками, площі яких можна знайти за допомогою різних формул, в залежності від відомих даних:
S = (a * h) / 2 де h - висота, опущена на бік a;
S = a*b*sinβ, де a, b - сторони трикутника, а - кут між цими сторонами;
S = (r * (a + b + c)) / 2, де a, b, c - Сторони трикутника, а r - радіус вписаної в цей трикутник кола;
S = (a*b*c)/4*R, де R - радіус описаного навколо кола трикутника;
S = (a * b) / 2 = r + 2 * r * R (якщо трикутник - прямокутний);
S = S = (a²*√3)/4 (якщо трикутник – рівносторонній).
Насправді це лише основні з відомих формул для знаходження площі трикутника.
Розрахувавши за допомогою зазначених вище формул площі всіх трикутників, що є гранями піраміди, можна приступити до обчислення площі цієї піраміди. Робиться це дуже просто: потрібно скласти площі всіх трикутників, що утворюють бічну поверхню піраміди. Формулою це можна виразити так:
Sп = ΣSi, де Sп - площа бічної , Si - площа i-го трикутника, що є частиною її бічної поверхні.
Для більшої ясності можна розглянути невеликий приклад: дано правильну піраміду, бічні грані якої утворені рівносторонніми трикутниками, а в основі її лежить квадрат. Довжина ребра даної піраміди становить 17 см. Потрібно знайти площу бічної поверхні цієї піраміди.
Рішення: відома довжина ребра даної піраміди, відомо, що її межі - рівносторонні трикутники. Таким чином, можна сказати, що всі сторони всіх трикутників бічної поверхні дорівнюють 17 см. Тому для того, щоб розрахувати площу будь-якого з цих трикутників, потрібно застосувати формулу:
S = (17 ² * √ 3) / 4 = (289 * 1.732) / 4 = 125.137 см ²
Відомо, що в основі піраміди лежить квадрат. Таким чином, відомо, що даних рівносторонніх трикутників чотири. Тоді площа бічної поверхні піраміди розраховується так:
125.137 см² * 4 = 500.548 см²
Відповідь: площа бічної поверхні піраміди становить 500.548 см²
Спочатку обчислимо площу бічної поверхні піраміди. Під бічною поверхнею мається на увазі сума площ усіх бічних граней. Якщо ви маєте справу з правильною пірамідою (тобто такою, в основі якої лежить правильний багатокутник, а вершина проектується в центр цього багатокутника), то для обчислення всієї бічної поверхні достатньо помножити периметр основи (тобто суму довжин усіх сторін багатокутника, що лежить в основі піраміди) на висоту бічної грані (інакше званої апофемою) і розділити отримане значення на 2: Sб=1/2P*h, де Sб - це площа бічної поверхні, P - периметр основи, h - висота бічної грані (апофема).
Якщо перед вами довільна піраміда, доведеться окремо обчислювати площі всіх граней, та був їх складати. Оскільки бічними гранями піраміди є трикутники, скористайтеся формулою площі трикутника: S = 1/2b * h, де b - це основа трикутника, а h - висота. Коли площі всіх граней обчислені, залишається лише скласти їх, щоб отримати площу бічної поверхні піраміди.
Потім необхідно обчислити площу основи піраміди. Вибір формули для розрахунку залежить від того, який багатокутник лежить у підставі піраміду: правильний (тобто такий, усі сторони якого мають однакову довжину) чи неправильний. Площу правильного багатокутника можна обчислити, помноживши периметр на радіус вписаного в багатокутник кола і поділивши отримане значення на 2: Sn=1/2P*r, де Sn - це площа багатокутника, P - це периметр, а r - це радіус вписаного в багатокутник кола .
Усічена піраміда – це багатогранник, який утворюється пірамідою та її перетином, паралельним підставі. Знайти площу бічної поверхні піраміди дуже просто. Її дуже проста: площа дорівнює добутку половини суми підстав із апофему. Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні усіченої піраміди. Припустимо, дана правильна чотирикутна піраміда. Довжини основи дорівнюють b=5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Щоб знайти площу бічної поверхні піраміди, потрібно спочатку знайти периметр основ. У великій підставі він дорівнює p1=4b=4*5=20 см. У меншій підставі формула буде наступною: p2=4c=4*3=12 см. Отже, площа дорівнюватиме: s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 див.
Піраміда – це багатогранник, одна з граней якого (основа) – довільний багатокутник, інші грані (бічні) – трикутники, мають загальну вершину. За кількістю кутів основи піраміди бувають трикутні (тетраедр), чотирикутні і таке інше.
Піраміда є багатогранником, що має основу у вигляді багатокутника, а інші грані є трикутниками із загальною вершиною. Апофемою називається висота бічної грані правильної піраміди, яка проведена з її вершини.
Циліндр є геометричним тілом, обмеженим двома паралельними площинами і циліндричною поверхнею. У статті поговоримо про те, як знайти площу циліндра і, застосувавши формулу, вирішимо для прикладу кілька завдань.
У циліндра є три поверхні: вершина, основа, та бічна поверхня.
Вершина та основа циліндра є колами, їх легко визначити.
Відомо, що площа кола дорівнює πr 2 . Тому формула площі двох кіл (вершини і основи циліндра) матиме вигляд πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .
Третя, бічна поверхня циліндра є вигнутою стінкою циліндра. Для того щоб краще уявити цю поверхню, спробуємо перетворити її, щоб отримати впізнавану форму. Уявіть собі, що циліндр, це звичайна консервна банка, яка не має верхньої кришки і дна. Зробимо вертикальний надріз на бічній стінці від вершини до основи банки (Крок 1 на малюнку) і спробуємо максимально розкрити (випрямити) отриману фігуру (Крок 2).
Після повного розкриття отриманої банки побачимо вже знайому фігуру (Крок 3), це прямокутник. Площа прямокутника легко обчислити. Але перед цим повернемося на мить до початкового циліндра. Вершина вихідного циліндра є коло, а ми знаємо, що довжина кола обчислюється за формулою: L = 2πr. На малюнку вона позначена червоним кольором.
Коли бічна стінка циліндра повністю розкрита, бачимо, що довжина кола стає довжиною отриманого прямокутника. Сторонами цього прямокутника будуть довжина кола (L = 2πr) та висота циліндра (h). Площа прямокутника дорівнює добутку його сторін – S = довжина x ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результаті ми отримали формулу для розрахунку площі бічної поверхні циліндра.
Формула площі бічної поверхні циліндра
S бік. = 2πrh
Площа повної поверхні циліндра
Зрештою, якщо ми складемо площу всіх трьох поверхонь, ми отримаємо формулу площі повної поверхні циліндра. Площі поверхні циліндра дорівнює площа вершини циліндра + площа основи циліндра + площа бічної поверхні циліндра або S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Іноді цей вираз записується ідентичною формулою 2πr (r + h).
Формула площі повної поверхні циліндра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радіус циліндра, h – висота циліндра
Приклади розрахунку площі поверхні циліндра
Для розуміння наведених формул спробуємо порахувати площу поверхні циліндра на прикладах.
1. Радіус основи циліндра дорівнює 2, висота дорівнює 3. Визначте площу бічної поверхні циліндра.
Площа повної поверхні розраховується за формулою: S бік. = 2πrh
S бік. = 2 * 3,14 * 2 * 34.6. Усього отримано оцінок: 990.
У правильній трикутній піраміді SABC R- середина ребра АВ, S- Вершина.
Відомо що SR = 6, а площа бічної поверхні дорівнює 36
.
Знайдіть довжину відрізка BC.
Зробимо креслення. У правильній піраміді бічні грані – рівнобедрені трикутники.
Відрізок SR- медіана, опущена на основу, а отже, і висота бічної грані.
Площа бічної поверхні правильної трикутної піраміди дорівнює сумі площ
трьох рівних бічних граней S бік. = 3 · S ABS. Звідси S ABS = 36: 3 = 12- Площа грані.
Площа трикутника дорівнює половині твору його основи на висоту
S ABS = 0,5 · AB · SR. Знаючи площу та висоту, знайдемо бік основи АВ = ВС.
12 = 0,5 · АВ · 6
12 = 3 · АВ
АВ = 4
Відповідь: 4
Можна підійти до завдання з іншого кінця. Нехай сторона основи АВ = ВС = а.
Тоді площа грані S ABS = 0,5 · AB · SR = 0,5 · а · 6 = 3а.
Площа кожної з трьох граней дорівнює 3а, площа трьох граней дорівнює 9а.
За умовою завдання площа бічної поверхні піраміди дорівнює 36.
S бік. = 9а = 36.
Звідси а = 4.
Площа бічної поверхні довільної піраміди дорівнює сумі площ її бічних граней. Спеціальну формулу для вираження цієї площі має сенс дати у разі правильної піраміди. Так, нехай дана правильна піраміда, в основі якої лежить правильний n-кутник зі стороною, що дорівнює а. Нехай h - висота бічної грані, називається також апофемоюпіраміди. Площа однієї бічної грані дорівнює 1/2ah, а вся бічна поверхня піраміди має площу, рівну n/2ha.
Площа бічної поверхніправильної піраміди дорівнює добутку її апофеми на половину периметра основи.
Що стосується площі повної поверхні, то просто до бічної додаємо площу основи.
Вписані та описані сфера та куля. Слід зазначити, що центр вписаної у піраміду сфери лежить на перетині бісекторних площин внутрішніх двогранних кутів піраміди. Центр описаної біля піраміди сфери лежить на перетині площин, що проходять через середини ребер піраміди та перпендикулярні їм.
Усічена піраміда.Якщо піраміду розсічено площиною, паралельною її основи, то частина, укладена між січною площиною та основою, називається усіченою пірамідою.На малюнку показана піраміда, відкидаючи її частину, що лежить вище за січну площину, отримуємо усічену піраміду. Зрозуміло, що мала піраміда, що відкидається, гомотетична великій піраміді з центром гомотетії у вершині. Коефіцієнт подібності дорівнює відношенню висот: k=h 2 /h 1 або бічних ребер, або інших відповідних лінійних розмірів обох пірамід. Ми знаємо, що площі подібних фігур відносяться як квадрати лінійних розмірів; так площі основ обох пірамід (тобто пощади основ усіченої піраміди) відносяться, як
Тут S 1 - площа нижньої основи, а S 2 - площа верхньої основи усіченої піраміди. У такому ж відношенні знаходяться бічні поверхні пірамід. Подібне правило є і обсягів.
Об'єми подібних тілставляться, як куби їх лінійних розмірів; наприклад, обсяги пірамід ставляться, як твори їх висот площі підстав, звідки наше правило виходить відразу. Воно має цілком загальний характері і прямо випливає з того, що обсяг завжди має розмірність третього ступеня довжини. Користуючись цим правилом, виведемо формулу, що виражає обсяг усіченої піраміди через висоту та площі основ.
Нехай дана усічена піраміда з висотою h і площами основ S1 і S2. Якщо уявити, що вона продовжена до повної піраміди, то коефіцієнт подібності повної піраміди та малої піраміди легко знайти, як корінь із відношення S2/S1. Висота зрізаної піраміди виражається як h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Тепер маємо для обсягу зрізаної піраміди (через V 1 і V 2 позначені обсяги повної та малої пірамід)
формула об'єму усіченої піраміди
Виведемо формулу площі S бічної поверхні правильної усіченої піраміди через периметри Р 1 і Р 2 основ та довжину апофеми а. Розмірковуємо так само, як і при виведенні формули для обсягу. Доповнюємо піраміду верхньою частиною, маємо P 2 = kP 1 , S 2 =k 2 S 1 , де k - коефіцієнт подібності, P 1 і P 2 - периметри основ, а S 1 і S 2 - коні бічних поверхонь всієї отриманої піраміди та її верхній частині відповідно. Для бічної поверхні знайдемо (а 1 і а 2 – апофеми пірамід, а = а 1 – а 2 = а 1 (1-k))
формула площі бічної поверхні правильної усіченої піраміди
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
