Instruções
Em primeiro lugar, vale a pena entender que a superfície lateral da pirâmide é representada por vários triângulos, cujas áreas podem ser encontradas por meio de diversas fórmulas, dependendo dos dados conhecidos:
S = (a*h)/2, onde h é a altura de descida para o lado a;
S = a*b*sinβ, onde a, b são os lados do triângulo e β é o ângulo entre esses lados;
S = (r*(a + b + c))/2, onde a, b, c são os lados do triângulo e r é o raio do círculo inscrito neste triângulo;
S = (a*b*c)/4*R, onde R é o raio do triângulo circunscrito ao círculo;
S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (se o triângulo for retângulo);
S = S = (a²*√3)/4 (se o triângulo for equilátero).
Na verdade, estas são apenas as fórmulas mais básicas conhecidas para encontrar a área de um triângulo.
Tendo calculado as áreas de todos os triângulos que são as faces da pirâmide usando as fórmulas acima, você pode começar a calcular a área desta pirâmide. Isso é feito de forma extremamente simples: você precisa somar as áreas de todos os triângulos que formam a superfície lateral da pirâmide. Isso pode ser expresso pela fórmula:
Sp = ΣSi, onde Sp é a área da superfície lateral, Si é a área do i-ésimo triângulo, que faz parte de sua superfície lateral.
Para maior clareza, podemos considerar um pequeno exemplo: dada uma pirâmide regular, cujas faces laterais são formadas por triângulos equiláteros, e na sua base há um quadrado. O comprimento da aresta desta pirâmide é de 17 cm. É necessário encontrar a área da superfície lateral desta pirâmide.
Solução: conhece-se o comprimento da aresta desta pirâmide, sabe-se que suas faces são triângulos equiláteros. Assim, podemos dizer que todos os lados de todos os triângulos da superfície lateral são iguais a 17 cm. Portanto, para calcular a área de qualquer um desses triângulos, será necessário aplicar a fórmula:
S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²
Sabe-se que na base da pirâmide existe um quadrado. Assim, é claro que existem quatro triângulos equiláteros dados. Então a área da superfície lateral da pirâmide é calculada da seguinte forma:
125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²
Resposta: A área da superfície lateral da pirâmide é 500,548 cm²
Primeiro, vamos calcular a área da superfície lateral da pirâmide. A superfície lateral é a soma das áreas de todas as faces laterais. Se se trata de uma pirâmide regular (ou seja, aquela que tem um polígono regular em sua base e o vértice é projetado no centro desse polígono), então para calcular toda a superfície lateral basta multiplicar o perímetro de a base (ou seja, a soma dos comprimentos de todos os lados do polígono situado na base da pirâmide) pela altura da face lateral (também chamada de apótema) e divida o valor resultante por 2: Sb = 1/2P* h, onde Sb é a área da superfície lateral, P é o perímetro da base, h é a altura da face lateral (apótema).
Se você tiver uma pirâmide arbitrária à sua frente, terá que calcular separadamente as áreas de todas as faces e depois somá-las. Como as faces laterais da pirâmide são triângulos, use a fórmula para a área de um triângulo: S=1/2b*h, onde b é a base do triângulo e h é a altura. Uma vez calculadas as áreas de todas as faces, resta apenas somá-las para obter a área da superfície lateral da pirâmide.
Então você precisa calcular a área da base da pirâmide. A escolha da fórmula de cálculo depende de qual polígono está na base da pirâmide: regular (ou seja, aquele com todos os lados do mesmo comprimento) ou irregular. A área de um polígono regular pode ser calculada multiplicando o perímetro pelo raio do círculo inscrito no polígono e dividindo o valor resultante por 2: Sn = 1/2P*r, onde Sn é a área do polígono, P é o perímetro e r é o raio do círculo inscrito no polígono.
Uma pirâmide truncada é um poliedro formado por uma pirâmide e sua seção transversal paralela à base. Encontrar a área da superfície lateral da pirâmide não é nada difícil. É muito simples: a área é igual ao produto da metade da soma das bases pelo apótema. Consideremos um exemplo de cálculo da área da superfície lateral de uma pirâmide truncada. Suponha que tenhamos uma pirâmide quadrangular regular. Os comprimentos da base são b = 5 cm, c = 3 cm. Apótema a = 4 cm. Para encontrar a área da superfície lateral da pirâmide, você deve primeiro encontrar o perímetro das bases. Em uma base grande será igual a p1=4b=4*5=20 cm Em uma base menor a fórmula será a seguinte: p2=4c=4*3=12 cm. : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 cm.
Uma pirâmide é um poliedro, uma das faces (base) é um polígono arbitrário e as faces restantes (lados) são triângulos com um vértice comum. De acordo com o número de ângulos, a base da pirâmide é triangular (tetraedro), quadrangular e assim por diante.
Uma pirâmide é um poliedro com uma base em forma de polígono e as demais faces são triângulos com um vértice comum. Um apótema é a altura da face lateral de uma pirâmide regular, que é traçada a partir de seu vértice.
Um cilindro é um corpo geométrico limitado por dois planos paralelos e uma superfície cilíndrica. No artigo falaremos sobre como encontrar a área de um cilindro e, utilizando a fórmula, resolveremos diversos problemas como exemplo.
Um cilindro tem três superfícies: uma superfície superior, uma base e uma superfície lateral.
O topo e a base de um cilindro são círculos e são fáceis de identificar.
Sabe-se que a área de um círculo é igual a πr 2. Portanto, a fórmula para a área de dois círculos (o topo e a base do cilindro) será πr 2 + πr 2 = 2πr 2.
A terceira superfície lateral do cilindro é a parede curva do cilindro. Para melhor imaginar esta superfície, vamos tentar transformá-la para obter uma forma reconhecível. Imagine que o cilindro é uma lata comum que não possui tampa superior ou inferior. Vamos fazer um corte vertical na parede lateral do topo até a base da lata (Passo 1 da figura) e tentar abrir (endireitar) ao máximo a figura resultante (Passo 2).
Depois que o frasco resultante estiver totalmente aberto, veremos uma figura familiar (Etapa 3), que é um retângulo. A área de um retângulo é fácil de calcular. Mas antes disso, voltemos por um momento ao cilindro original. O vértice do cilindro original é um círculo, e sabemos que a circunferência é calculada pela fórmula: L = 2πr. Está marcado em vermelho na figura.
Quando a parede lateral do cilindro está totalmente aberta, vemos que a circunferência se torna o comprimento do retângulo resultante. Os lados deste retângulo serão a circunferência (L = 2πr) e a altura do cilindro (h). A área de um retângulo é igual ao produto de seus lados - S = comprimento x largura = L x h = 2πr x h = 2πrh. Como resultado, obtivemos uma fórmula para calcular a área da superfície lateral do cilindro.
Fórmula para a área da superfície lateral de um cilindro
Lado S = 2πrh
Área total de superfície de um cilindro
Finalmente, se somarmos a área de todas as três superfícies, obteremos a fórmula para a área total da superfície de um cilindro. A área da superfície de um cilindro é igual à área do topo do cilindro + a área da base do cilindro + a área da superfície lateral do cilindro ou S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Às vezes, esta expressão é escrita de forma idêntica à fórmula 2πr (r + h).
Fórmula para a área total da superfície de um cilindro
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – raio do cilindro, h – altura do cilindro
Exemplos de cálculo da área superficial de um cilindro
Para entender as fórmulas acima, vamos tentar calcular a área superficial de um cilindro usando exemplos.
1. O raio da base do cilindro é 2, a altura é 3. Determine a área da superfície lateral do cilindro.
A área total da superfície é calculada usando a fórmula: lado S. = 2πrh
Lado S = 2 * 3,14 * 2 * 34,6. Total de avaliações recebidas: 990.
Em uma pirâmide triangular regular SABC R- meio da costela AB, S- principal.
Sabe-se que RS = 6, e a área da superfície lateral é igual a 36
.
Encontre o comprimento do segmento a.C..
Vamos fazer um desenho. Em uma pirâmide regular, as faces laterais são triângulos isósceles.
Segmento S.R.- a mediana baixada até a base e, portanto, a altura da face lateral.
A área da superfície lateral de uma pirâmide triangular regular é igual à soma das áreas
três faces laterais iguais Lado S = 3 S ABS. Daqui S ABS = 36: 3 = 12- área do rosto.
A área de um triângulo é igual à metade do produto de sua base pela altura
S ABS = 0,5 AB SR. Conhecendo a área e a altura, encontramos o lado da base AB = BC.
12 = 0,5AB6
12 = 3AB
AB = 4
Responder: 4
Você pode abordar o problema do outro lado. Deixe o lado da base AB = BC = uma.
Então a área do rosto S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.
A área de cada uma das três faces é igual a 3a, a área das três faces é igual 9a.
Pelas condições do problema, a área da superfície lateral da pirâmide é 36.
Lado S = 9a = 36.
Daqui uma = 4.
A área da superfície lateral de uma pirâmide arbitrária é igual à soma das áreas de suas faces laterais. Faz sentido fornecer uma fórmula especial para expressar esta área no caso de uma pirâmide regular. Então, vamos nos dar uma pirâmide regular, em cuja base está um n-gon regular com lado igual a a. Seja h a altura da face lateral, também chamada apótema pirâmides. A área de uma face lateral é igual a 1/2ah, e toda a superfície lateral da pirâmide tem área igual a n/2ha. Como na é o perímetro da base da pirâmide, podemos escrever a fórmula encontrada. na forma:
Superfície lateral de uma pirâmide regular é igual ao produto do seu apótema pela metade do perímetro da base.
A respeito de área de superfície total, então simplesmente adicionamos a área da base à lateral.
Esfera e esfera inscrita e circunscrita. Deve-se notar que o centro da esfera inscrita na pirâmide encontra-se na intersecção dos planos bissetores dos ângulos diédricos internos da pirâmide. O centro da esfera descrita perto da pirâmide encontra-se na intersecção dos planos que passam pelos pontos médios das arestas da pirâmide e são perpendiculares a eles.
Pirâmide truncada. Se uma pirâmide é cortada por um plano paralelo à sua base, então a parte delimitada entre o plano de corte e a base é chamada pirâmide truncada. A figura mostra uma pirâmide; descartando sua parte acima do plano de corte, obtemos uma pirâmide truncada. É claro que a pequena pirâmide descartada é homotética à grande pirâmide com o centro de homoteidade no vértice. O coeficiente de similaridade é igual à razão das alturas: k=h 2 /h 1, ou bordas laterais, ou outras dimensões lineares correspondentes de ambas as pirâmides. Sabemos que as áreas de figuras semelhantes estão relacionadas como quadrados de dimensões lineares; então as áreas das bases de ambas as pirâmides (ou seja, a área das bases da pirâmide truncada) estão relacionadas como
Aqui S 1 é a área da base inferior e S 2 é a área da base superior da pirâmide truncada. As superfícies laterais das pirâmides estão na mesma relação. Existe uma regra semelhante para volumes.
Volumes de corpos semelhantes são tratados como cubos de suas dimensões lineares; por exemplo, os volumes das pirâmides estão relacionados como o produto de suas alturas e a área das bases, a partir da qual nossa regra é imediatamente obtida. É de natureza completamente geral e decorre diretamente do fato de que o volume sempre tem uma dimensão da terceira potência do comprimento. Usando esta regra, derivamos uma fórmula que expressa o volume de uma pirâmide truncada através da altura e da área das bases.
Seja dada uma pirâmide truncada com altura h e áreas de base S 1 e S 2. Se imaginarmos que ela se estende a uma pirâmide completa, então o coeficiente de similaridade entre a pirâmide completa e a pirâmide pequena é fácil de encontrar como a raiz da razão S 2 /S 1 . A altura de uma pirâmide truncada é expressa como h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Agora temos o volume da pirâmide truncada (V 1 e V 2 denotam os volumes das pirâmides completa e pequena)
fórmula para o volume de uma pirâmide truncada
Vamos derivar a fórmula para a área S da superfície lateral de uma pirâmide truncada regular através dos perímetros P 1 e P 2 das bases e do comprimento do apótema a. Raciocinamos exatamente da mesma maneira que derivamos a fórmula do volume. Complementamos a pirâmide com a parte superior, temos P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, onde k é o coeficiente de similaridade, P 1 e P 2 são os perímetros das bases, e S 1 e S 2 são as áreas das superfícies laterais de toda a pirâmide resultante e sua parte superior, respectivamente. Para a superfície lateral encontramos (a 1 e a 2 são apótemas das pirâmides, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))
fórmula para a área da superfície lateral de uma pirâmide truncada regular
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